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LEXIKON

Vktorraum

linearer Vektorraum
algebraische Struktur: eine Menge von Elementen, die man zueinander addieren und die man mit Zahlen multiplizieren kann, wobei die üblichen Rechenregeln gelten. Die Elemente eines Vektorraums werden allgemein als Vektoren bezeichnet (Vektor); Beispiele für Vektoren sind u. a. alle reellen Funktionen, lineare Gleichungen, Matrizen sowie die geometrischen Vektoren im engeren Sinn. Die Theorie der Vektorräume (Vektorrechung) ist Gegenstand der linearen Algebra. Mengentheoretisch hat eine Menge die Struktur eines Vektorraums, wenn eine assoziative und kommutative Addition ihrer Elemente sowie eine S-Multiplikation mit Elementen eines Körpers K erklärt sind, für die ein Assoziativ- und zwei Distributivgesetze gelten. Für die Vektoraddition ist der Nullvektor das neutrale und der Gegenvektor das inverse Element. Vektoren eines Vektorraums heißen linear unabhängig, wenn es keine Linearkombination dieser Vektoren gibt, die den Nullvektor erzeugt. Gibt es eine solche Linearkombination, nennt man die Vektoren linear abhängig. Ein Vektorraum ist n-dimensional, wenn es in ihm höchstens n linear unabhängige Vektoren gibt; durch Addition und S-Multiplikation lässt sich in ihm jeder Vektor aus n Vektoren zusammensetzen; diese n erzeugenden Vektoren bilden eine Basis des Vektorraums. Beispiel: Der geometrische Raum unserer Anschauung stellt einen 3-dimensionalen Vektorraum dar: Alle Raumvektoren (darstellbar als Pfeile, die die einzelnen Raumpunkte festlegen) lassen sich mit Hilfe dreier Basisvektoren (z. B. i, j, k) durch Multiplikation mit geeigneten Zahlen (Koordinaten genannt, z. B. x, y, z) und anschließender Addition erzeugen:
v = x   i + y   j + z   k = (x, y, z).
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