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LEXIKON

Vktor

Mathematik
[der]
das Element eines Vektorraums. Im engeren Sinne, insbesondere in der analytischen Geometrie: geordnetes Zahlenpaar oder -tripel, als einzeilige oder einspaltige Matrix geschrieben und meist durch einen übergesetzten Pfeil gekennzeichnet, z. B.
Formel
x, y und z sind die Komponenten des Vektors bezüglich eines bestimmten Koordinatensystems, in dem er als Pfeil bestimmter Länge und Richtung dargestellt wird. Freie Vektoren sind durch ihre Länge (auch Betrag genannt) und ihre Richtung eindeutig festgelegt; jeder (freie) Vektor umfasst somit eine Klasse von gleich langen und gleichgerichteten Pfeilen, die sich nur im Angriffspunkt unterscheiden und als Vertreter (Repräsentanten) ihrer Klasse aufgefasst werden. Z. B. stellt der Pfeil, der vom Koordinatenursprung zum Punkt (4; 3) führt, einen Vertreter des Vektors (4,3) dar; ein weiterer Vertreter desselben Vektors ist der Pfeil vom Punkt (1; 2) zum Punkt (5; 5). Gebundene Vektoren sind dagegen Pfeile, deren Angriffspunkte festgelegt sind. Der Nullvektor hat die Länge Null und ist richtungslos; ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge 1. Der Gegenvektor zu einem gegebenen Vektor ist ein Vektor derselben Länge und entgegengesetzter Richtung. In einem kartesischen (rechtwinkligen) Koordinatensystem ist der Betrag eines Vektors gleich der Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Komponenten:
Formel
Im Rahmen der Vektorrechnung sind Vektoroperationen definiert. Vektoren werden addiert: geometrisch durch Aneinandersetzen der Pfeile; algebraisch durch Addieren der entsprechenden Komponenten:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).
Die Vektoraddition ist assoziativ und kommutativ. Vektoren lassen sich mit einer reellen Zahl k multiplizieren (S-Multiplikation): geometrisch durch Streckung (k > 1) oder Schrumpfung (k < 1), eventuell mit Richtungsumkehr (k < 0); algebraisch durch Multiplikation der Komponenten mit k:
k·(x, y, z) = (kx, ky, kz).
Die S-Multiplikation ist assoziativ und distributiv sowohl bezüglich der Vektoraddition als auch bezüglich der Zahlenaddition:
Formel
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