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LEXIKON

Menge

von G. Cantor eingeführter mathematischer Grundbegriff: Eine Menge ist die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Die zur Menge gehörenden Objekte heißen ihre Elemente. Man schreibt: a  M [gelesen: a Element von M, a gehört zu M, a aus M]; entsprechend gilt: b  M, falls b nicht zu M gehört. Die Darstellung einer Menge ist aufzählend {1, 2, 3, 4} oder beschreibend {x | x natürliche Zahl, kleiner 5} [gelesen: Menge aller x mit der Eigenschaft ...]. Zwei Mengen sind genau dann einander gleich, wenn sie aus denselben Elementen bestehen (Extensionalität). Zwei Mengen, deren Elemente man paarweise einander eineindeutig zuordnen kann, heißen äquivalent oder gleichmächtig. Die Mächtigkeit von Mengen wird durch ihre Kardinalzahl angegeben; bei endlichen Mengen ist dies eine natürliche Zahl. Unendliche Mengen sind gleichmächtig der Menge der natürlichen Zahlen, und zwar entweder abzählbar unendlich (dazu gehören die Menge der ganzen und der rationalen Zahlen) oder überabzählbar unendlich (dazu gehören die Menge der reellen Zahlen und die Menge der Punkte einer Strecke [Mächtigkeit des Kontinuums]).

Verknüpfungen und Relationen

Die Vereinigung zweier Mengen A und B, geschrieben: A  B, besteht aus allen Elementen, die wenigstens einer der beiden Mengen angehören. Der Durchschnitt, A  B, besteht aus den Elementen, die beiden Mengen zugleich angehören. Die Restmenge A  B (A minus B; A ohne B) enthält die Elemente von A, die B nicht angehören. Das Komplement einer Menge A in Bezug auf eine Grundmenge G enthält die Elemente von G, die A nicht angehören. Eine Menge ohne Elemente heißt leere Menge, Zeichen {} oder . Die Menge A heißt Teilmenge von B, A  B, wenn alle Elemente von A auch zu B gehören. Enthält B mindestens ein Element, das A nicht angehört, so heißt die Teilmenge echt. Die Menge der Teilmengen von M einschließlich M selbst und der leeren Menge heißt Potenzmenge P(M) von M. Die mittels dieser Verknüpfungen und Relationen gebildete Mengenalgebra ist ein Modell der abstrakten Booleschen Algebra. Das (kartesische) Produkt zweier Mengen A×B (A kreuz B) ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) mit a  A, b  B. Dieser Begriff lässt sich auf Produkte mehrerer Mengen erweitern.
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